О расчёте несимметричных зеркальных колпаков (кососветов)

Задачу о расчете кососвета в самом общем ее виде можно поставить следующим образом: даны законы распределения сил света I источника и J зеркальной поверхности кососвета уравнениями I=I(θ,φ) и J=J(α,ψ), где θ и α – соответственно зенитные расстояния, а φ и ψ – азимуты для падающего и отраженного лучей, ищется такая форма зеркальной поверхности, которая трансформировала бы фотометрическое тело I(θ,φ) в фотометрическое тело J(α,ψ). Это значит, что форма поверхности должна быть такова, что сила отраженного ею света удовлетворяла определенным техническим условиям, выраженным уравнением J = J(α,ψ).

Дифференциальные уравнения могут быть выведены путем следующих рассуждений. Обозначим через X, Y и Z угловые коэффициенты нормали к поверхности кососвета, через l, m и n – угловые коэффициенты луча, идущего из источника, помещенного в начале прямоугольной системы координат, и наконец, через λ, μ и ν – угловые коэффициенты отраженного луча, причем из соображений удобства мы приписываем отраженному лучу обратное направление по сравнению с тем, которое этот луч имеет в действительности.

Два закона отражения дают уравнения:

из которых могут быть определены угловые коэффициенты X, Y и Z следующим образом:

где ω – угол падения;

Обозначив через x, y, z текущие координаты поверхности, будем иметь

Введем в рассмотрение радиус-вектор r поверхности, совпадающий по своему направлению с лучом света, идущим из источника. Будет

Подставляя формулы (1) и (4) в уравнение (3), получим

Для упрощения будем в дальнейшем обозначать скалярные произведения круглыми скобками, так, например, вместо λdl+μdm+νdn будем писать сокращенно (λdl), тогда предыдущее уравнение мы сможем записать так:

Пусть u, v – криволинейные координаты на поверхности кососвета. На основании (5) будем иметь

Условие интегрируемости этих уравнений не выполняется тождественно, оно эквивалентно с условием, которое необходимо наложить на конкуренцию прямых, чтобы эти прямые можно было рассматривать как нормали к некоторой поверхности.

Это условие будет:

или в раскрытом виде

Введем сферические координаты: зенитное расстояние θ, азимут φ и радиус-вектор r, зенитное расстояние отраженного луча обозначим через α, а его азимут через ψ, тогда

Дифференциальное уравнение поверхности (6) преобразуется так:

а условие интегрируемости (7) будет

К уравнению (9) нужно еще присоединить уравнение потоков, выражающее тот факт, что отраженный световой поток равен излученному, умноженному на коэффициент отражения ρ. Это уравнение будет:

или

Для нахождения формы поверхности кососвета нужно интегрировать совместно уравнения (9) и (10), после чего поверхность находится квадратурами на основании уравнений (8).

Отметим два частных случая.

I. Положим sin (φ – ψ) = 0, будем иметь

из уравнения (9) найдем:

Уравнения (8) дают

причем знак (–) соответствует случаю φ – ψ = 0, а знак (+) – случаю φ – ψ = π. Мы получаем, таким образом, поверхность вращения, соответствующую симметричному относительно оси распределению светового потока, α находится из уравнения (10), которое в этом случае принимает вид

II. Если положить

то уравнение (9) удовлетворяется. Из уравнений (11) следует, что

представляет собой аналитическую функцию комплексного переменного

Таким образом, любая функция комплексного переменного может быть использована для устранения зависимости

Эта функция должна быть выбрана с тем расчетом, чтобы светораспределение от поверхности кососвета удовлетворяло бы заданным техническим условиям, критерием чего служит степень точности, с которой выполняется уравнение (10).